PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU

KHẢO SÁT NĂNG KHIẾU HỌC SINH LỚP 8
NĂM HỌC 2013-2014


Đề thi môn: Toán


Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)



Câu 1 (2,0 điểm).
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:
a) n3 – n chia hết cho 3.
b) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Câu 2 (2,0 điểm).
Cho biểu thức: P =

Nêu ĐKXĐ và rút gọn P.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Câu 3 (2,0 điểm).
Giải các phương trình sau:

.

.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho tam giác vuông cân ABC 900). cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M
khác B). Qua B, kẻ đường thẳng vuông góc với CM tại D và cắt tia CA tại E. Chứng minh:
a) EB.ED = EA.EC.
b) = 450.
c) BD.BE + CA.CE = BC2.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho điểm M nằm trong góc xOy. Một đường thẳng d quay quoanh điểm M cắt Ox,
Oy thứ tự tại A và B (A khác O; B khác O). Chứng minh không đổi khi đường thẳng d quay quoanh điểm M (trong đó SOMA, SOMB lần lượt là diện tích của tam giác OMA, OMB).

------ Hết ------

Họ và tên thí sinh: ...................................................................... SBD: ............................................



HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Câu 1
Nội dung
2,0 điểm

a) 1,0
n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1)


1,0

b) 1,0




1,0

Câu 2


2,0
điểm

a)
1,0
ĐKXĐ: x

2x2 + 3x +1 = (2x + 1)(x + 1)
x3 + x2 + 2x + 2 = x2(x + 1) + 2(x +1) = (x + 1)(x2 + 2)
P =

0,25

0,5
0,25

b)
1,0

P – 1 =

Dấu “=” xảy ra khi x = 1(thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy GTLN của P = 1 khi x = 1
P +

Dấu “=’ xảy ra khi x = -2 (thảo mãn ĐKXĐ)
Vậy GTNN của P = -1/2 khi x = -2



0,5



0,5

Câu 3

2,0
điểm

a)
1,0


Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3; x = -2

1,0

b)
1,0
b) Xét các trường hợp:
- Nếu
ta có -2x – 1 - x + 1 = 4
(TM)
- Nếu
ta có 2x + 1 – x + 1 = 4
(loại)
Nếu
ta có 2x + 1 + x – 1 = 4
(TM)
Vậy



0,25
0,25

0,25

0,25

Câu 4

3,0
điểm

a)
1,0


AEB ~
DEC (Vì là 2 tam
giác vuông có chung
Nên = vậy EB. ED= EA. EC C



H

M
A B

D
E
1,0

b)
1,0
Từ EB. ED= EA. EC mà chung


ADE ~
EBC = 450
1,0

c)
1,0
 Ta có M là trực tâm của tam giác ECB.
Gọi H là giao điểm của EM và CB nên EH CB
Tương tự câu a ta có: BD. BE = BH. BC
CA. CE = CH. CB
Vậy BD. BE + CA. CE = BC(CH + BH) = BC2
1,0

5
(1đ)

d x
(1 điểm)
A

I
M